카지노 환수율

환수율은 카지노게임에 있어 무척 중요한 개념입니다. 카지노 환수율 수치를 확실히 파악하기만 해도, 해당 게임에서 본인이 얼마나 유리한지 여부를 판단할 수 있습니다. 또한 환수율 및 배당률을 바탕으로 카지노가 해당 게임에서 각각의 승률을 어느 정도로 예상하고 있는지 역산할 수 있습니다. 비록 정확하진 않더라도, 카지노 환수율을 아는 것만으로 게임에 대한 이해가 깊어지는 셈입니다. 그래서 카지노 게임을 시작할 때는 환수율이 어떻게 설정돼 있는지 반드시 확인해야 합니다. 카지노는 각 게임에 대한 환수율을 공개하고 있으며, 배당률 역시 게임 규칙으로 공개돼 있으므로 쉽게 확인할 수 있습니다.

환수율 공식

환수율이란 기댓값을 말하는 것으로, 특정 확률로 발생하는 행위를 무한히 반복했을 때 얻을 수 있는 결과의 평균을 말합니다. 즉, 카지노에서 말하는 환수율은 베팅당 평균적으로 얼마 만큼의 당첨금을 기대할 수 있는지 보여줍니다. 카지노 환수율 공식은 상당히 단순합니다. 게임 승리 당첨금에 승리 확률을 곱하고, 여기에서 패배시 잃는 금액(베팅 금액)과 패배 확률을 곱한 값을 빼면 됩니다. 환수율 공식은 구체적으로 다음과 같습니다.

환수율 = ( 베팅당 받을 금액 * 승리 확률 - 베팅당 잃을 금액 * 패배 확률 )  / 베팅 금액

예를 들어 동전을 던져 앞면이 나올 확률에 1,000원을 베팅하고, 당첨시 2,000원을 받을 경우 카지노 환수율은 아래와 같습니다.

( 2,000 * 0.5 - 1,000 * 0.5 )  / 1,000 = 0.5, 환수율 50%

환수율이 50%이므로, 동전 던지기를 반복하면 할 수록 베팅 금액의 절반을 회수할 수 있다는 의미입니다. 매번 베팅할 때마다 2,000원을 얻거나 1,000원을 잃을 수 있지만, 반복할 수록 1,000원 베팅시 500원을 얻을 수 있습니다.

기댓값과 환수율

환수율은 기댓값이라고 할 수 있지만, 엄밀히 말해 기댓값과 사용 방법에 차이가 있습니다. 기댓값은 베팅과 상관없이 확률을 수반한 모든 행위에 적용할 수 있는 개념이고, 환수율은 베팅 개념이 추가됩니다. 카지노 환수율은 모든 확률적 행위을 포괄하는 기댓값의 일종이라고 할 수 있습니다.

환수율과 기댓값은 공식 면에서도 약간의 차이가 있습니다. 예를 들어 주사위를 던져 각각의 숫자가 나올 확률은 각각 1/6, 16.66%입니다. 그리고 1이 나올 확률에 1,000원을 베팅하여 당첨시 6,000원을 받는다고 가정합니다. 이 때의 카지노 환수율은 각각 아래와 같습니다.

( 6,000 * 1/6 - 1,000 * 1/6 * 5 ) / 1,000 = 0.1667

환수율은 16.67%가 되며, 1,000원 베팅시 평균적으로 166.67원을 받을 수 있다는 의미입니다. 그런데 베팅을 하지 않고 주사위를 던졌을 때 나오는 숫자에 대한 기댓값은 다음과 같습니다.

( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) * 1/6 = 기댓값 3.5

따라서 환수율을 기댓값이라 생각해도 큰 무리가 없지만, 기댓값이 환수율이라 생각해선 안 됩니다. 환수율이 기댓값과 동일할 때가 있고, 다를 때도 있습니다. 카지노는 베팅을 전제로 하기 때문에 기댓값보다 환수율이라는 표현을 사용합니다.

환수율 계산 예시

카지노 환수율은 베팅이 포함된 개념이기 때문에 주로 카지노나 토토사이트에서 사용합니다. 예를 들어 다양한 경우를 예로 들면 환수율은 아래와 같습니다.

• 동전 던지기에서 앞면에 100원을 베팅하고, 당첨시 110원을 받을 경우 ( 110 * 0.5 – 100 * 0.5 ) / 100 = 0.05, 환수율 5%가 되어 100원 베팅시 평균적으로 5원을 받을 수 있습니다.
• 바카라 게임에서 플레이어와 뱅커 승리 확률이 각각 50%인데, 플레이어 승리시 2 배당이며 뱅커 승리시 1.95 배당을 받습니다. 그러면 ( 2 * 0.5 – 1.95 * 0.5 ) = 0.025 이므로 환수율은 97.5%가 됩니다.
• 100원을 베팅하면 0.01% 확률로 500,000원을 지급하고, 5% 확률로 500원을 지급하며, 10% 확률로 200원을 지급하는 슬롯머신을 가정합니다. 슬롯은 당첨되는 경우가 여러가지이기 때문에, 당첨금과 확률을 곱한 값을 모두 더합니다. ( 0.0001 * 500,000 + 0.05 * 500 + 0.1 * 200 ) / 100 = 95% 환급률이 됩니다.

카지노 환수율

카지노 게임은 결과가 운에 의해 결정됩니다. 그런데 이 ‘운’이라는 개념을 확률로 표시할 수 있습니다. 예를 들어 동전을 던졌을 때 앞면과 뒷면이 나오는 것은 운이지만, 앞면과 뒷면이 나올 확률은 50%입니다. 카지노 게임은 다양한 규칙을 통해 이 확률을 미세하게 조정하여 게임을 진행합니다.

그래서 카지노 게임이 운에 의해 결정된다고 해도, 그 운이 출현할 확률을 결정하여 이에 따른 카지노 환수율 및 배당률을 표기하고 있습니다. 따라서 게임별 카지노 환수율을 보면 해당 게임에서 참여자가 어느 정도의 보상을 얻을 수 있을지 예측할 수 있습니다.

카지노 환수율 설정

카지노가 게임을 구성할 때는 각각의 확률을 계산합니다. 예를 들어 룰렛에서 구슬이 휠(Wheel)의 검은색과 붉은색에 떨어질 확률은 50%라고 설정하는 식입니다. 카지노에서 기본적인 기댓값 산출 공식은 다음과 같습니다.

기댓값 = 베팅 금액 * 배당률 * 출현 확률

무승부가 없다는 가정 하에 바카라 게임의 플레이어 승리 확률은 49.32%, 뱅커 승리 확률은 50.68%입니다. 그래서 무승부가 없는 바카라의 1,000원 베팅시 기댓값은 다음과 같습니다.

플레이어 승리 기댓값 = 1,000 * 2 (배당률) * 0.4932 = 986.40 원
뱅커 승리 기댓값 = 1,000 * 1.95 (배당률) * 0.5068 = 988.26 원

그런데 카지노는 고정 수익을 확보하기 위해, 확률을 미묘하게 조정하여 사용자에게 약간 불리한 환경을 조성합니다. 예를 들어 룰렛에서 38개의 숫자 중 대(大)와 소(小)를 골라 베팅하는 경우, 배당률은 2배이므로 정상적인 기댓값은 2*1/2=1입니다. 카지노는 여기에 약간의 조정을 가합니다. 38개의 숫자 중 0과 00은 대(大)와 소(小) 모두 해당되지 않는 숫자로 설정하는 것이지요. 그러면 기댓값은 아래와 같이 달라집니다.

기댓값 = 2 (배당률) * 18/38 = 0.947368

따라서 룰렛의 대(大)와 소(小) 베팅 기댓값은 1,000원 베팅시 947.36원이 됩니다. 그리고 52.64원의 차익은 고스란히 카지노의 수익이 됩니다. 이렇게 카지노는 이익을 극대화하기 위해, 배당률 혹은 출현 확률을 카지노에게 약간이나마 유리하게 설정합니다. 이를 통해 게임에서 승리하든 패배하든, 그에 상관없이 고정된 수익을 확보할 수 있는 것입니다.

하우스엣지와 환수율

보다 정확히 말하면 카지노 환수율은 베팅시 플레이어의 기대 수익이므로, 베팅 금액에서 기댓값을 뺀 금액이 카지노의 수익입니다. 이렇게 100%에서 환수율(%)을 제외한 카지노의 수익을 ‘하우스 엣지(House Edge)’라고 합니다. 플레이어가 100원 베팅시 환수율이 95%라고 하면, 하우스 엣지는 5%가 되어 100원당 5원이 카지노의 고정 수익이 되는 셈입니다.

1 - 환수율 = 하우스 엣지 (%)

카지노 환수율 조작에 대한 오해

우리는 흔히 카지노에서 패배하다 보면 카지노가 게임 결과를 조작하는 것 아니냐 의심하곤 합니다. 하지만 카지노 환수율의 결정 방식과 역할을 정확히 알게 되면 의심할 필요가 사라집니다. 플레이어의 승패와 관계없이 게임을 거듭할 수록 카지노는 고정 수익이 늘어나는 구조이므로, 조작을 할 이유가 없습니다. 특히 카지노 슬롯머신 규칙에 따라 환수율이 낮게 설정된 강원랜드는 슬롯 환수 율 조작 의혹에 자주 휩싸이곤 합니다.

플레이어가 큰 당첨금을 받게 되어도 큰 당첨금이 발생할 확률은 소수점 단위이며, 그 외 나머지의 게임에서 고정으로 거둬들인 수익은 당첨금과 비교할 수 없을 만큼 큰 액수입니다. 그래서 카지노는 플레이어가 큰 당첨금을 받게 되면 모두 찾아와서 축하해주며 다른 사람의 게임 참여 욕구를 자극합니다. 수익의 일부를 당첨금으로 지급하더라도 더 많은 사람이 게임에 참여하면 카지노에게는 결과적으로 이득이기 때문입니다.

게다가 카지노는 정기적으로 법률에 의해 독립된 기관에 의한 감사(監査)를 받습니다. 그래서 카지노가 설정한 환수율이 정상적으로 잘 적용되고 있는지 감시합니다. 설정된 카지노 환수율과 실제의 카지노 환수율을 비교하는 방법은 간단합니다. 카지노의 RTP(Return to Play)를 계산하여 설정된 환수율과 동일한지 비교하는 것입니다. 환수율 계산기에 따르면 RTP 공식은 아래와 같습니다.

플레이어의 총 수익 / 플레이어의 총 베팅 금액 = RTP (%)

감사를 위한 주기는 보통 1달입니다. 이렇게 1달 동안 플레이어가 가져간, 즉 카지노가 플레이어에게 지급한 액수를 플레이어가 베팅한 모든 금액으로 나눕니다. 예를 들어 2021년 12월 강원랜드가 플레이어에게 지급한 금액은 900억 원이고, 플레이어가 베팅에 사용한 총 금액은 1,000억 원이라고 가정합니다. 그러면 RTP는 90%가 됩니다.

900 / 1,000 = 0.90 = 90% RTP

이렇게 계산한 RTP와 실제 게임의 카지노 환수율을 비교하여 카지노 환수율을 올바르게 적용하고 있는지 확인하는 것입니다. 만약 감사 후에 별 문제가 없다면, 강원랜드의 환수율은 90%가 됩니다. 플레이어는 강원랜드에서 1,000원을 베팅할 때마다 900원의 수익을 얻을 수 있는 것이며, 강원랜드의 하우스 엣지는 10%입니다.

게임 종류별 환수율

카지노 환수율은 게임별로 다르며, 카지노마다 다릅니다. 게임에 따라 특정 결과의 출현 확률이 다른 탓에 환수율은 무조건 다를 수밖에 없습니다. 또한 카지노의 이익을 극대화하기 위해 확률을 미세하게 조정하다 보니, 같은 게임이어도 카지노에 따라 환수율이 다릅니다. 통상 오프라인 카지노보다 온라인카지노 환수율이 높습니다. 오프라인 카지노는 대략 80%~90%의 환수율을 제공하지만, 온라인카지노는 90%~97%의 환수율을 제공합니다.

예를 들어 슬롯 게임 제공 업체로 유명한 프라그마틱 슬롯 환수율은 98%에 달하는 경우도 있어 환수율 좋은 슬롯 게임으로 이름 높습니다.

광대한 부지에 큰 건물을 지어 많은 직원을 고용하는 오프라인 카지노는 유지 비용 역시 막대합니다. 반면 온라인카지노는 오프라인 카지노에 비해 유지 비용이 많이 적기 때문에 보다 유리한 환경을 제공할 수 있는 것입니다. 온라인카지노는 유지 비용이 낮은 점을 이용해 환수율을 높여, 보다 많은 플레이어를 끌어들이는 박리다매(薄利多賣) 방식으로 영업합니다.

카지노 환수율 관련 주의사항

대체로 환수율이 높을 수록 플레이어에게 유리한 것은 사실입니다. 하지만 그렇다고 해서 무턱대고 높은 환수율만 찾아선 안 됩니다. 환수율은 절대적인 것이 아니며, 게임에 대해 판단하는 하나의 요소에 불과합니다.

환수율이 높다면 승리 확률도 높나요?

그렇지 않습니다. 환수율은 해당 게임을 무한히 시행한다고 가정할 때 플레이어가 얻게 되는 예상 수익금에 불과합니다. 매우 많은 횟수를 시행할 때의 이야기이며, 개별적인 시행에서 여러분에게 항상 환수율에 따른 수익금을 보장하는 것은 아닙니다. 예를 들어 환수율이 90%라고 해서, 100원을 베팅하면 실제로 90원의 수익을 돌려주는 것이 아닙니다. 100원을 베팅했을 때 500원이 될 수도 있고, 100원 모두 잃을 수도 있습니다.

환수율이 95%인 게임은 90%인 게임보다 당연히 플레이어에게 유리하지만, 실제로 플레이어에게 돌아가는 수익이 얼마나 될지는 전혀 예측할 수 없습니다. 그래서 환수율은 플레이어의 당첨금이 어느 정도 수준으로 이루어지는지 대략적인 안내 역할에 지나지 않습니다. 물론 환수율이 높은 게임은 돌아오는 수익이 높기 때문에 더 오랜 시간 게임을 즐길 수 있습니다. 하지만 미시적인 관점에서 각 게임의 승률을 보장하는 것은 아니며, 거시적인 관점에서 환수율이 정확하게 제공될 만큼의 게임 횟수를 즐기는 것도 어렵습니다.

환수율은 전적으로 믿을 수 있나요?

반은 맞고, 반은 틀립니다. 환수율 자체는 신뢰할 수 있습니다. 카지노가 환수율을 속이진 않으며, 주기적인 감사를 통해 환수율이 정상적으로 적용되는지 여부도 확인합니다. 하지만 위에 말씀드렸다시피, 설정된 환수율과 유사한 결과를 얻으려면 최소 수천, 수만 번의 게임 횟수가 필요합니다. 본인이 참여한 10여 회의 게임 횟수로는 환수율과 동일한 결과를 기대하기 어렵습니다.

게다가 환수율을 통해 얼마든지 눈속임을 할 수 있습니다. 예를 들어 1% 확률로 당첨시 1,000원을 지급하는 게임과 0.1% 확률로 10,000원을 지급하는 게임과 환수율이 동일합니다. 따라서 매우 높은 환수율을 제공한다 해도, 확률과 당첨 금액을 조정하기에 따라 얼마든지 플레이어에게 불리할 수 있습니다. 1% 확률로 1,000원을 지급하는 게임보다, 0.01% 확률로 100,000원을 지급하는 게임이 플레이어에게 불리한 것은 당연하기 때문입니다.

변동성이란 무엇인가요?

환수율이 확률과 수익의 관계를 명확하게 표시하는 것이 아니라면, 변동성(Volatility)을 보조 지표로 활용할 수 있습니다. 변동성은 주로 슬롯 게임에서 다루는 개념으로, 당첨 확률(당첨 빈도)과 수익의 균형을 말합니다. 1에서 10까지의 숫자 중에 변동성이 어느 정도 수준에 달하는지 확인 가능합니다. 변동성이 높다면 당첨 확률이 낮은 대신 당첨 금액이 크고, 변동성이 낮다면 당첨 확률이 높은 대신 당첨금이 높습니다.

따라서 환수율과 함께 변동성까지 확인하면 해당 게임에서 잠재적인 수익을 얻기 위해 여러분이 감수해야 하는 위험도의 크기를 파악할 수 있습니다. 환수율이 여러분의 잠재적인 수익을 명확히 설명하진 못 하지만, 환수율과 함께 변동성까지 파악하면 잠재적인 수익에 보다 근접할 수 있는 것입니다. 통상 변동성은 중간 정도에 위치하는 것이 좋습니다. 변동성이 어느 한쪽에 치우치면 당첨금이 너무 적거나 확률이 너무 적어 매력이 떨어지기 때문입니다.

표본과 카지노 환수율

위에서 말씀드렸다시피 환수율이란 게임을 무한한 횟수로 실행했을 때 수렴하는 기댓값입니다. 1~10회 시행할 경우 환수율이 그대로 본인에게 적용된다는 보장은 어디에도 없습니다. 하지만 그것은 본인에게 적용되는 이야기이고, 카지노는 수많은 사람이 찾아와 게임을 즐기기 때문에 무한에 가까운 횟수의 게임을 제공합니다. 표본이 많다 보니 게임 결과가 점차 환수율로 수렴할 수밖에 없는 구조인 것입니다.

결국 카지노 환수율 개념은 기본적으로 플레이어를 대상으로 제공하는 것이지만, 사실상 플레이어가 아닌 카지노에게만 일방적으로 적용될 가능성이 월등히 높습니다. 그래서 게임을 즐기는 분들은 환수율이 자신에게 적용되지 않는다며 불만을 토로하실 수 있습니다. 하지만 환수율은 분명하게 설정된 수치 그대로 적용된다 말씀드릴 수 있습니다. 이렇게 환수율이 실제로 적용되리라 예측할 수 있는 근거는 바로 ‘큰 수의 법칙(Law of Large Numbers)’입니다.

큰 수의 법칙

큰 수의 법칙은 17세기 스위스의 수학자인 야코프 베르누이(Jacob Bernoulli)가 고안한 법칙입니다. 특정 확률을 수반하는 행위를 반복해서 시행할 수록, 경험적 확률인 시행 결과는 수학적 확률로 수렴한다는 이론입니다. 큰 수의 법칙을 설명하는 가장 좋은 예는 바로 주사위입니다. 주사위를 던져 특정 숫자가 나올 확률은 정확히 1/6입니다. 하지만 실제로 주사위를 던진다면 어떨까요? 1이 나오기도 하고, 3이 4번 연속으로 나오기도 합니다. 그래서 10번을 던지면 어떤 숫자가 많이 나오고, 특정 숫자는 아예 나오지 않을 수도 있습니다.

그런데 주사위를 1,000번 이상 던진다면 숫자는 고르게 1/6에 가까운 확률로 분포할 것입니다. 물론 1,000번을 던져도 특정 숫자가 많이 나올 수도 있습니다. 그런데 10,000번 이상 던지면 경험적인 시행 결과는 수학적인 확률인 1/6에 한 없이 가까워지게 됩니다. 이것이 바로 큰 수의 법칙입니다.

도박사의 오류

큰 수의 법칙은 진리에 가까운 수학 법칙입니다. 그런데 큰 수의 법칙을 고안한 베르누이는 큰 수의 법칙 정리 후반부에 돌연 이런 말을 덧붙입니다. 본인은 의도하지 않았겠지만, 이 말로 인해 사람들은 큰 수의 법칙과 독립시행 사이에서 혼란을 겪는 일명 ‘도박사의 오류(Gambler’s Fallacy)’에 빠지고 말았습니다.

동전을 9번 던져 모두 앞면이 나왔다면, 10번째는 뒷면이라 예측할 것이다. 하지만 던질 때마다 앞면과 뒷면이 나올 가능성은 항상 50%이다

Jacob Bernoulli (1654~1705), Ars Conjectandi

즉, 베르누이는 큰 수의 법칙 후반부에 큰 수의 법칙과 독립시행을 착각하지 말라는 조언을 덧붙인 것입니다. 독립시행이란 이전의 시행 결과가 다음 시행에 아무런 영향을 미치지 않는 것을 말합니다. 동전 던지기를 예로 들어보겠습니다. 동전을 던져 9번 연속 앞면이 나왔는데, 10번째 던지면 과연 뒷면이 나올 차례일까요? 이전에 9번 연속 앞면이 나왔다고 해서 다음에는 뒷면이 나올 것이란 보장은 어디에도 없습니다. 동전 던지기는 이전 시행 결과가 다음 시행에 영향을 미치지 않는 독립시행이기 때문입니다.

베르누이는 이렇게 분명히 큰 수의 법칙과 독립시행을 별개로 구분지어 말하고 있습니다. 동전을 많이 던지면 던질 수록 결과적으로 50% 확률이 되겠지만, 그것은 표본이 너무 크기 때문일 뿐입니다. 동전을 던질 때 각각의 1회는 정확히 50% 확률입니다. 표본이 너무 크기 때문에 50% 확률의 예상 편차는 500이 넘을 수도 있습니다.

동전 던지기 1만 번 표준 편차 = 0.5 * √ 10,000 = 50
동전 던지기 100만 번 표준 편차 = 0.5 * √ 1,000,000 = 500

시행 횟수가 많으면 많을 수록 큰 예상 편차를 확인할 수 있지만, 고작 9번만 던져서는 표본 수가 충분치 않습니다. 결국 큰 수의 법칙은 표본이 많으면 많을 수록 정확하고, 반드시 많아야만 적용할 수 있는 법칙입니다. 그런데 사람들은 큰 수의 법칙을 적은 표본에도 적용하는 실수를 범하고 맙니다.

바로 여기서 현재도 변함없이 수많은 사람을 울리고 마는 ‘도박사의 오류’가 시작합니다. 동전이 9번 연속 앞면이 나왔다면 큰 수의 법칙에 따라 앞으로 뒷면이 더 많이 나오리라 생각하는 것이지요. 표본이 적으면 적을 수록 큰 수의 법칙은 적용할 수 없으며, 결과는 완전히 운에 의해 결정됩니다. 이렇게 큰 수의 법칙과 독립시행을 혼동하는 것이 도박사의 오류입니다.

도박사의 오류 사례

도박사의 오류는 ‘몬테카를로의 오류(Monte Carlo Fallacy)’라 불리기도 합니다. 몬테카를로 오류로 불리게 된 데에는 슬픈 사연이 있습니다. 1913년 8월 18일, 몬테카를로의 카지노에서 평상시와 다름 없이 룰렛 게임이 진행되었습니다. 그런데 구슬이 26번 연속 검은색에 떨어지고 맙니다. 구슬이 10번, 15번 검은색에 떨어질 때마다 다음에는 붉은색에 떨어질 것이라 베팅한 수많은 사람이 이로 인해 막대한 손실을 보게 됐습니다. 전형적인 도박사의 오류로 벌어진 이 사건이 너무도 유명해진 나머지, 몬테카를로 오류라는 이름으로 불리게 된 것입니다.

도박사의 오류와는 다르게 환수율은 큰 수의 법칙을 따릅니다. 각각의 플레이어가 참여하는 수십 번의 게임은 모두 독립시행이므로 어떤 결과가 나올지 장담할 수 없습니다. 하지만 카지노는 수십 번의 게임을 수만 회 반복하기 때문에 표본이 매우 많아집니다. 따라서 그들이 설정한 환수율(수학적 확률)로 수렴하게 됩니다. 결국 플레이어는 큰 수의 법칙으로 인해 돈을 잃고, 카지노는 큰 수의 법칙에 의해 돈을 번다고 정리할 수 있습니다.

표본에 대한 바른 이해

카지노의 모든 게임은 독립시행입니다. 블랙잭처럼 일부 독립시행이 아닌 것도 있고, 독립시행이 아닌 점을 이용해 카드카운팅 기술도 성행합니다. 하지만 그 카드카운팅조차 유의미한 확률 차이는 1% 가량에 불과한 것으로 알려졌습니다. 카지노가 설정한 기본적인 확률을 넘어설 방법은 사실상 없다고 해도 과언이 아닙니다.

따라서 카지노 게임에 임할 때는 반드시 독립시행을 명심하고 도박사의 오류를 경계해야 합니다. 룰렛 게임을 즐길 때도 어느 한 쪽에 치우친 결과가 나온다고 해서 다른 쪽이 나올 차례가 되었다 생각하는 것은 금물입니다. 슬롯 역시 마찬가지입니다. 간혹 잭팟이 나온지 오래 된 기계를 찾는 분들이 계신데, 모두 의미없는 행위입니다. 잭팟의 확률이 0.1%라고 해서, 1,000번에 한 번씩 잭팟이 터지는 것은 아닙니다. 매번 게임을 시행할 때마다 0.1% 확률로 잭팟의 결과를 추출할 뿐입니다.

또는 슬롯에 상당한 금액을 사용했다고 해서 점차 당첨 기회가 가까워지는 것도 아닙니다. 논리 자체는 틀리지 않았습니다. 큰 수의 법칙을 적용한 논리이기 때문입니다. 하지만 진정 큰 수의 법칙에 따른 당첨자가 되려면, 터무니 없이 많은 횟수를 시행해야 합니다. 여러분이 큰 수의 법칙을 진정으로 이해하고 확률 수렴에 대한 오해를 버린다면, 도박사의 오류 역시 겪지 않을 것입니다. 베르누이가 17세기에 남긴 말은, 표본에 대한 이해 없이 도박사의 오류에 빠진 이들에게 던지는 일침입니다.

그 어떤 바보라도 표본이 클 수록 확률이 평균으로 수렴하는 것을 알 수 있다

Jakob Bernoulli (1654~1705), Ars Conjectandi